กฎเกาส์คืออะไร : สูตร & ที่มาของมัน

การศึกษาประจุไฟฟ้าและฟลักซ์ไฟฟ้าร่วมกับพื้นผิวเป็นกฎเกาส์ เป็นกฎพื้นฐานของแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งใช้ได้กับพื้นผิวปิดทุกประเภทที่เรียกว่าพื้นผิวเกาส์เซียน กฎข้อนี้อธิบายและตีพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันและกฎหมายของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ในปี พ.ศ. 1867 โดยอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างความเข้มของสนามไฟฟ้าของพื้นผิวกับประจุไฟฟ้าทั้งหมดที่ล้อมรอบโดยพื้นผิวนั้น บทความนี้ให้ภาพรวมของกฎเกาส์ในไดอิเล็กทริกและแมกนีโตสแตติกด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ กฎเกาส์คืออะไร กฎเกาส์เป็นหนึ่งในสมการของแมกซ์เวลล์เกี่ยวกับแม่เหล็กไฟฟ้า และกำหนดว่าฟลักซ์ไฟฟ้าทั้งหมดในพื้นผิวปิดมีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงที่ล้อมรอบหารด้วย แรงต้านสนามไฟฟ้า. ตามกฎหมายนี้ ฟลักซ์ทั้งหมดที่เชื่อมโยงกับพื้นผิวปิดคือ 1/E0 คูณการเปลี่ยนแปลงที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิด ฟลักซ์ไฟฟ้าในพื้นที่หมายถึงผลคูณของสนามไฟฟ้าและพื้นที่ของพื้นผิวที่ฉายในระนาบและตั้งฉากกับสนาม สูตรกฎเกาส์ตามกฎนี้ ประจุทั้งหมดที่อยู่ในพื้นผิวปิดจะเป็นสัดส่วนกับฟลักซ์ทั้งหมดที่ปิดล้อมโดยพื้นผิว พิจารณาว่า Φ คือฟลักซ์ทั้งหมด และ E0 เป็นค่าคงที่ทางไฟฟ้า แล้วประจุไฟฟ้าทั้งหมด Q ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิดสามารถแสดงได้ดังนี้Q= ΦE0ดังนั้น สูตรกฎเกาส์จึงแสดงได้ดังนี้ ΦE= Q/E0ที่ไหน Q= ประจุทั้งหมดภายในพื้นผิวที่กำหนด E0 คือค่าคงที่ทางไฟฟ้า แนวคิดนี้เรียบง่ายและสามารถเข้าใจได้ง่ายมากโดยพิจารณาจากแผนภาพกฎเกาส์ที่แสดงในรูปด้านล่าง ฟลักซ์ไฟฟ้าทั้งหมดผ่านพื้นผิวปิดขึ้นอยู่กับประจุของพื้นผิวปิด และประจุที่อยู่ด้านนอกของพื้นผิวไม่มีฟลักซ์ใดๆ รูปร่างของพื้นผิวนั้นพิจารณาโดยพลการ เนื่องจากฟลักซ์ไฟฟ้าทั้งหมดไม่ขึ้นกับตำแหน่งของประจุภายในพื้นผิวปิด พื้นผิวจินตภาพนี้เรียกว่าพื้นผิวเกาส์เซียน ซึ่งขึ้นอยู่กับการกำหนดค่าของประจุและประเภทของสมมาตรที่มีอยู่ในการกำหนดค่าประจุ ส่วนใหญ่จะเลือกพื้นผิวทรงกระบอกและระนาบแผนภาพกฎเกาส์ กฎเกาส์ SI หน่วยกฎเกาส์ SI หน่วยได้รับด้านล่าง ถ้าสนามไฟฟ้าคงที่ ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ไหลผ่านพื้นผิวของพื้นที่เวกเตอร์ S คือΦE = E .S = ES Cos өถ้าสนามไฟฟ้าไม่คงที่ ฟลักซ์ไฟฟ้าผ่านพื้นที่ผิวขนาดเล็ก dS ถูกกำหนดโดย d ΦE = E. dSโดยที่ E = สนามไฟฟ้าS = พื้นที่ส่วนต่างบนพื้นผิวปิด ฟลักซ์ไฟฟ้ามีหน่วย SI ของโวลต์มิเตอร์ (V m) สนามไฟฟ้าเป็นพื้นที่รอบอนุภาคที่มีประจุหรือระหว่าง สองแรงดันไฟฟ้า มันออกแรงกระทำต่อวัตถุที่มีประจุในบริเวณใกล้เคียง กฎของเกาส์ นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ตามกฎของเกาส์ ฟลักซ์ทั้งหมดในพื้นที่ปิดผิวคือ 1/E0 คูณของประจุที่ถูกจำกัดโดยพื้นผิวปิด∮E ds = (1/ E0) qสำหรับอินสแตนซ์ การชาร์จแบบจุด q อยู่ในตำแหน่งขอบลูกบาศก์ ตามกฎของเกาส์ ฟลักซ์ที่เกิดขึ้นจากแต่ละด้านของลูกบาศก์คือ q/6 E0A ตามกฎนี้ ประจุทั้งหมดที่อยู่ในพื้นผิวปิดจะเป็นสัดส่วนกับฟลักซ์ทั้งหมดที่ล้อมรอบโดยพื้นผิว พิจารณาว่า Φ เป็นยอดรวมหรือไม่ ฟลักซ์และ E0 เป็นค่าคงที่ไฟฟ้า จากนั้นประจุไฟฟ้าทั้งหมด Q ที่ปิดด้วยพื้นผิวปิดสามารถแสดงได้ดังนี้Q= Φ E0ดังนั้น สูตรกฎเกาส์จึงแสดงได้ดังนี้ ΦE= Q/E0โดยที่ Q= ประจุทั้งหมดภายในพื้นผิวที่กำหนด E0 คือค่าคงที่ทางไฟฟ้าDerivationการได้มาของกฎเกาส์แสดงไว้ด้านล่าง การได้มาซึ่งกฎของเกาส์โดยใช้กฎคูลอมบ์ กรณีที่ 1: พื้นผิวทรงกลมที่ล้อมรอบประจุจุดเดียว สมมติว่าเรามีประจุแบบจุดคงที่จุดเดียวที่มีขนาด EE= q/4ΠE0r2ΦE = ∮E dA= ∮ q/4ΠE0r2. dA= q/4ΠE0r2§ dA= qA/4ΠE0r2= q4Πr2/4ΠE0r2= q/E0ΦE = ∮ E. dA = q/E0CASE 2: Irregular surface enclosed the same point charge ปล่อยให้เส้นสนามประเภทเดียวกันผ่านพื้นผิว A1 และ A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q/E0∮ E. dA = q/E0กฎเกาส์ในไดอิเล็กทริก พิจารณาตัวเก็บประจุแบบแผ่นขนานที่มีพื้นที่ A เท่ากัน และความหนาแน่นประจุ σ แล้วจะมีสุญญากาศระหว่างเพลต แผนภาพต่อไปนี้อธิบายกฎข้อนี้ในไดอิเล็กทริกระหว่างเพลตคู่ขนานทั้งสอง จากนั้นเราสามารถประเมินเวกเตอร์สนาม E0 ในพื้นที่ระหว่างเพลตโดยใช้กฎเกาส์กฎเกาส์ในไดอิเล็กทริกให้เราพิจารณาพื้นผิวเกาส์เซียนที่มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์และหน้าหนึ่งเป็นเกาส์เซียนซึ่งฟลักซ์จะไม่ผ่านเข้าไป จากนั้นฟลักซ์จะไม่ผ่านใบหน้าตั้งฉากกับใบหน้านี้ ดังนั้นฟลักซ์จะไหลผ่านหน้าซึ่งขนานกับเพลตบวกเท่านั้น พิจารณาค่าคงที่ E0 ของพื้นผิวเกาส์เซียนและ ө คือมุมระหว่างเวกเตอร์สนามกับเวกเตอร์พื้นที่∯S E0 dα = q/E0∯S E0 dα cosө = q/E0∯S E0 dα = q/E0E0∯S dα = q/E0E0A = q/E0E0 = q/E0Aที่นี่ q= A σE0 = A σ /E0AE0= σ/ E0Gauss กฎของสนามแม่เหล็ก กฎของสนามแม่เหล็กนี้ใช้กับฟลักซ์แม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิด ในกรณีนี้ เวกเตอร์พื้นที่ชี้ออกจากพื้นผิว เนื่องจากเส้นสนามแม่เหล็กเป็นลูปต่อเนื่อง พื้นผิวปิดทั้งหมดจะมีเส้นสนามแม่เหล็กเข้ามามากเท่ากับที่ออกมา ดังนั้น ฟลักซ์แม่เหล็กสุทธิผ่านพื้นผิวปิดจึงเป็นศูนย์ ฟลักซ์สุทธิ = ʃ B dA = 0 ดังนั้นผลรวมสุทธิของกระแสทั้งหมดในพื้นผิวที่ปิดล้อมจึงเป็นโมฆะ กฎเกาส์สำหรับประจุเป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการคำนวณสนามไฟฟ้าในสถานการณ์ที่มีความสมมาตรสูง กฎเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็กมีการใช้งานน้อยมาก ความสำคัญ ส่วนนี้จะช่วยให้คุณมีคำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับความสำคัญของกฎเกาส์ ถ้อยแถลงของกฎเกาส์นั้นถูกต้องและเหมาะสมกับพื้นผิวปิดใดๆ ที่ไม่ขึ้นกับขนาดหรือรูปร่างของวัตถุนั้น คำว่า Q ในสูตรของกฎเกาส์นั้นหมายถึงผลรวมของประจุทั้งหมดที่อยู่ในวัตถุโดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของประจุทั้งหมด ประจุบนพื้นผิว ในบางพื้นผิวที่เลือก มีทั้งประจุภายในและภายนอกของสนามไฟฟ้า พื้นผิวที่เลือกไว้สำหรับฟังก์ชันของกฎเกาส์เรียกว่าพื้นผิวเกาส์เซียน แต่พื้นผิวนี้ไม่ควรผ่านประจุแยกใดๆ ซึ่งส่วนใหญ่ใช้สำหรับการวิเคราะห์อย่างง่ายของสนามไฟฟ้าสถิตในสถานการณ์ที่ระบบมีสมดุลอยู่บ้าง . สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อเราเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนที่แน่นอนเท่านั้น ตัวอย่างที่ 1) พื้นผิวแบบเกาส์เซียนแบบปิดในพื้นที่ 3 มิติที่วัดฟลักซ์ไฟฟ้า โดยให้พื้นผิวเกาส์เซียนเป็นทรงกลมซึ่งปิดล้อมด้วยอิเล็กตรอน 40 ตัวและมีรัศมี 0.6 เมตร คำนวณฟลักซ์ไฟฟ้าที่ไหลผ่านพื้นผิว หาฟลักซ์ไฟฟ้าที่มีระยะห่าง 0.6 เมตรถึงสนามที่วัดจากจุดศูนย์กลางของพื้นผิว ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างประจุที่ปิดไว้กับฟลักซ์ไฟฟ้า คำตอบด้วยสูตรของฟลักซ์ไฟฟ้า ประจุสุทธิที่ห่อหุ้มอยู่ในพื้นผิวสามารถคำนวณได้ สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการคูณประจุสำหรับอิเล็กตรอนกับอิเล็กตรอนทั้งหมดที่ปรากฏบนพื้นผิว เมื่อใช้สิ่งนี้ ค่าการยอมให้พื้นที่ว่างและฟลักซ์ไฟฟ้าสามารถทราบได้Ф = Q/є0 = [40 (1.60 * 10-19)/8.85 * 10-12]= 7.42 * 10-12 นิวตัน*เมตร/คูลอมบ์คำตอบการจัดเรียงสมการใหม่ ของฟลักซ์ไฟฟ้าและการแสดงพื้นที่ตามรัศมีสามารถใช้คำนวณสนามไฟฟ้าได้Ф = EA = 7.42 * 10-12 นิวตัน*เมตร/CoulombE = (7.42 * 10–)/A= (7.42 * 10–)/ 4∏(0.6)2เนื่องจากฟลักซ์ไฟฟ้ามีสัดส่วนโดยตรงกับประจุไฟฟ้าที่ปิดไว้ นี่หมายความว่าเมื่อประจุไฟฟ้าบนพื้นผิวเพิ่มขึ้น ฟลักซ์ที่ไหลผ่านก็จะเพิ่มขึ้นด้วย ข้อดีของกฎเกาส์คือ ดังต่อไปนี้เมื่อเปรียบเทียบกับกฎคูลอมบ์ มันให้ทิศทางแรงเฉพาะด้วยความแม่นยำที่เหมาะสมกับกรณีทั่วไปที่เหมาะสม ทฤษฎีบทเกาส์มีประสิทธิภาพมากกว่าในวัตถุและพื้นผิวที่ปิดทั้งหมดเพื่อจุดประสงค์ในการค้นหาสนามไฟฟ้าและยังทำงานอย่างมีประสิทธิภาพในกระบวนการกระจายเมื่อเปรียบเทียบ ด้วยกฎคูลอมบ์ ข้อเสีย ข้อเสียของกฎเกาส์เท่ากับ f ollowsข้อจำกัดของกฎเกาส์คือจะคำนวณเฉพาะสนามไฟฟ้าในบางกรณีเท่านั้น เราไม่สามารถใช้กฎเกาส์ในการคำนวณสนามได้เนื่องจากไดโพลไฟฟ้า การใช้งานต่อไปนี้คือการใช้งานที่สำคัญของกฎเกาส์ ซึ่งมีประโยชน์มากที่สุดในการแก้ปัญหาไฟฟ้าสถิตที่ซับซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับสมมาตรที่ไม่ซ้ำกัน เช่น สมมาตรทรงกระบอก ทรงกลม หรือระนาบ ซึ่งมีประโยชน์มาก เพื่อคำนวณความเข้มของสนามเนื่องจากลวดที่มีประจุเป็นเนื้อเดียวกันยาวเป็นอนันต์ หากการกระจายประจุขาดความสมมาตรในการใช้งาน ในกรณีเหล่านั้น เราสามารถใช้กฎหมายนี้ในการคำนวณสนามประจุจุดขององค์ประกอบประจุแต่ละตัวที่มีอยู่ในวัตถุกฎหมายนี้สามารถนำมาใช้เพื่อ ลดความซับซ้อนของการประเมินสนามไฟฟ้าอย่างง่ายดายและง่ายดาย ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนบางสถานการณ์ ซึ่งการคำนวณสนามไฟฟ้ามีความซับซ้อน กฎหมายนี้จึงถูกนำมาใช้ในรูปแบบอินทิกรัล ดังนั้น นี่คือภาพรวมของกฎเกาส์ – คำจำกัดความ , สูตร, หน่วย SI, นิพจน์ทางคณิตศาสตร์, อนุพันธ์, ไดอะแกรม, ในไดอิเล็กตริก, ในสนามแม่เหล็ก, นัยสำคัญ, ตัวอย่างพร้อมคำตอบ, ข้อดี ข้อเสีย และการใช้งาน

ฝากข้อความ 

รายการข้อความ